Question

7．已知函數f（x）=（x-1）²-$\frac{x}{e^x}$．
（Ⅰ）求函數的單調區間；
（Ⅱ）若函數f（x）有兩個零點x₁，x₂，證明x₁+x₂＞2．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出導函數，求出極值點，判斷導函數的符號，推出函數的單調性即可．
（Ⅱ）不妨設x₁＜x₂，推出0＜x₁＜1，x₂＞1.2-x₂＜1，利用函數f（x）在（-∞，1）上單調遞減，得到x₁＞2-x₂，轉化為：0=f（x₁）＜f（2-x₂）．求出$f（2-{x_2}）={（1-{x_2}）^2}-\frac{{2-{x_2}}}{{{e^{2-{x_2}}}}}$，構造函數設g（x）=xe^2-x-（2-x）e^x，再利用形式的導數，求出函數的最值，轉化求解即可．

解答 （本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）$f'（x）=2（x-1）-\frac{1-x}{e^x}=（x-1）（{2+\frac{1}{e^x}}）$，…（2分）
f'（x）=0⇒x=1，當x∈（-∞，1）時，f'（x）＜0；當x∈（1，+∞）時，f'（x）＞0．
所以函數f（x）在（-∞，1）上單調遞增．…（4分）
（Ⅱ）證明：$f（1）=-\frac{1}{e}＜0$，f（0）=1，不妨設x₁＜x₂，
又由（Ⅰ）可知0＜x₁＜1，x₂＞1.2-x₂＜1，
又函數f（x）在（-∞，1）上單調遞減，
所以x₁+x₂＞2?x₁＞2-x₂等價于f（x₁）＜f（2-x₂），
即0=f（x₁）＜f（2-x₂）．…（6分）
又$f（2-{x_2}）={（1-{x_2}）^2}-\frac{{2-{x_2}}}{{{e^{2-{x_2}}}}}$，而$f（{x_2}）={（{x_2}-1）^2}-\frac{x_2}{{{e^{x_2}}}}=0$，
所以$f（2-{x_2}）=\frac{x_2}{{{e^{x_2}}}}-\frac{{2-{x_2}}}{{{e^{2-{x_2}}}}}=\frac{{{x_2}{e^{2-{x_2}}}-（2-{x_2}）{e^{x_2}}}}{{{e^{x_2}}{e^{2-{x_2}}}}}$，…（8分）
設g（x）=xe^2-x-（2-x）e^x，則g'（x）=（1-x）（e^2-x-e^x）．…（10分）
當x∈（1，+∞）時g'（x）＞0，而g（1）=0，故當x＞1時，g（x）＞0．
而${e^{x_2}}{e^{2-{x_2}}}＞0$恒成立，
所以當x＞1時，$f（2-{x_2}）=\frac{x_2}{{{e^{x_2}}}}-\frac{{2-{x_2}}}{{{e^{2-{x_2}}}}}=\frac{{{x_2}{e^{2-{x_2}}}-（2-{x_2}）{e^{x_2}}}}{{{e^{x_2}}{e^{2-{x_2}}}}}＞0$，
故x₁+x₂＞2．…（12分）

點評 本題考查函數的導數的應用，函數的單調性以及函數的最值的求法，考查構造法以及形式的導數的應用，考查轉化思想以及計算能力．