Question

定義在R上的函數f（x），當x∈[-1，1]時，f（x）=x²+x，且對任意x，滿足f（x-3）=2f（x），則f（x）在區間[5，7]上的值域是

[-

1

16

，

1

2

]

．

Answer 1

分析：先根據條件得到f（x）=

1

4

f（x-6），再結合x∈[5，7]⇒x-6⇒[-1，1]；以及當x∈[-1，1]時，f（x）的值域即可求出結論．

解答：解：因為；f（x-3）=2f（x），
∴f（x-6）=2f（x-3）=4f（x），
∴f（x）=

1

4

f（x-6），
x∈[5，7]⇒x-6⇒[-1，1]；
∵當x∈[-1，1]時，f（x）=x²+x=（x+

1

2

）²-

1

4

∴x=-

1

2

時，y_min=-

1

4

，
x=1時，y_max=2．
故當x∈[-1，1]時，f（x）∈[-

1

4

，2]．
∴x∈[5，7]
∴f（x）=

1

4

f（x-6）∈[-

1

16

，

1

2

]．
故答案為：[-

1

16

，

1

2

]．

點評：本題主要考察抽象函數及其應用．其中涉及到了二次函數在閉區間上的最值問題．二次函數在閉區間上的最值一定要判斷對稱軸和區間的位置關系，避免出錯．