Question

如圖，正方體A₁B₁C₁D₁-ABCD中，EF與異面直線AC，A₁D都垂直相交
（1）求異面直線EF與B₁C所成的角；
（2）求證：EF⊥面B₁AC；
（3）求證：EF∥面BB₁D₁D．

Answer 1

分析：（1）由A₁D∥B₁C，而EF與異面直線AC，A₁D都垂直相交，可得EF⊥B₁C．
（2）根據EF⊥B₁C，EF⊥AC，可得EF⊥面B₁AC．
（3）先利用線面垂直的判定定理證明 BD₁⊥面B₁AC，而EF⊥面B₁AC，故BD₁∥EF，再根據BD₁?面BDD₁B₁，得 EF∥面BDD₁B₁．

解答：解：（1）正方體A₁B₁C₁D₁-ABCD中，A₁D∥B₁C，
而EF與異面直線AC，A₁D都垂直相交，
∴EF⊥B₁C，故直線EF與B₁C所成的角為90°．
（2）∵

EF⊥B1C EF⊥AC B1C∩AC=C

，∴EF⊥面B₁AC．
（3）正方形ABCD中，AC⊥BD，而BD是BD₁在面ABCD內的射影，
 由三垂線定理可得BD₁⊥AC，同理可證BD₁⊥B₁A，
而B₁A和AC 是面AB₁C內的兩條相交直線，∴BD₁⊥面B₁AC．
又EF⊥面B₁AC，∴BD₁∥EF，BD₁?面BDD₁B₁，∴EF∥面BDD₁B₁．

點評：本題考查異面直線所成的角的定義和求法，證明線面平行、線面垂直的方法，證明BD₁⊥面B₁AC，是解題的難點．