Question

如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M，N，E，F分別是棱A₁B₁，A₁D₁，B₁C₁，C₁D₁的中點．
（1）求證：直線MN∥平面EFDB；
（2）求證：平面AMN∥平面EFDB．

Answer 1

分析：（1）連結B₁D₁，證明MN∥EF，即可證明直線MN∥平面EFDB； 
（2）證明AM∥平面EFDB，由（1）知MN∥平面EFDB，即可證明平面AMN∥平面EFDB．

解答：證明：（1）連結B₁D₁                    （1分）
∵M，N，E，F分別是棱A₁B₁，A₁D₁，B₁C₁，C₁D₁的中點
∴MN∥B₁D₁，EF∥B₁D₁                （3分）
∴MN∥EF                                   （4分）
∴直線MN∥平面EFDB；                           （6分）
（2）連MF，
∵ABCD-A₁B₁C₁D₁是正方體         （7分）
∴MF∥A₁D₁且MF=A₁D₁                  （9分）
又A₁D₁=AD且A₁D₁∥AD  
∴MF∥AD且MF=AD    （10分）
∴MFDA是平行四邊形                        （11分）
∴AM∥DF                                （12分）
∴AM∥平面EFDB                         （13分）
由（1）知MN∥平面EFDB
∵MN∩AM=M
∴平面AMN∥平面EFDB．                 （14分）

點評：本題考查線面平行，面面平行，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．