Question

（2011•深圳二模）執行下面框圖所描述的算法程序，記輸出的一列數依次為a₁，a₂，…，a_n，n∈N*，n≤2011．
（1）若輸入λ=

2

，寫出輸出結果；
（2）若輸入λ=2，求數列{a_n}的通項公式；
（3）若輸入λ＞2，令cn=

an-p

pan-1

，求常數p（p≠±1），使得{c_n}是等比數列．

Answer 1

分析：（1）輸入λ=

2

，進行循環得到輸出結果是：0，

2

2

．
（2）由題意得an+1=

1

λ-an

，λ=2，所以an+1=

1

2-an

，所以整理得

1

an+1-1

-

1

an-1

=-1（常數），（而{a_n}中的任意一項均不為1）
故{

1

an-1

}是首項為-1，公差為-1的等差數列，可得數列的通項公式．
（3）當λ＞2時，cn+1=p2•

an-p( λ p - 1 p2 )

pan-(pλ-p2)

，令

λ

p

-

1

p2

=1，可得，p=

λ± λ2-4

2

．  所以，pλ-p2=p(p+

1

p

)-p2=1，所以c_n+1=p²c_n，
又c₁=p≠0，故可得答案．

解答：解 （1）輸出結果是：0，

2

2

，

2

．
（2）由程序框圖知，a₁=0，an+1=

1

λ-an

，n∈N*，n≤2010．
因為λ=2，所以an+1=

1

2-an

，
an+1-1=

1

2-an

-1=

an-1

2-an

，而{a_n}中的任意一項均不為1，
否則的話，由a_n+1=1可以得到a_n=1，…，與a₁=0≠1矛盾，
所以，

1

an+1-1

=

2-an

an-1

=

1

an-1

-1，

1

an+1-1

-

1

an-1

=-1（常數），n∈N*，n≤2010．
故{

1

an-1

}是首項為-1，公差為-1的等差數列，
所以，

1

an-1

=-n，數列{a_n}的通項公式為an=1-

1

n

，n∈N*，n≤2011．
（3）當λ＞2時，cn+1=

an+1-p

pan+1-1

=

1 λ-an -p

p λ-an -1

=

pan-pλ+1

an-λ+p

=p2•

an-p( λ p - 1 p2 )

pan-(pλ-p2)

，
令

λ

p

-

1

p2

=1，則λ=p+

1

p

，p²-λp+1=0，p=

λ± λ2-4

2

．  
此時，pλ-p2=p(p+

1

p

)-p2=1，
所以c_n+1=p²c_n，n∈N*，n≤2011，
又c₁=p≠0，
故存在常數p=

λ± λ2-4

2

（λ＞2），使得{c_n}是以p為首項，p²為公比的等比數列．

點評：本題以框圖為橋梁考查數列的有關知識如求數列的通項公式研究判斷數列為等比數列，解決此類題目的方法是對求通項公式與判斷等比數列的知識要熟悉，要提高運算能力．