Question

（2011•深圳二模）設函數f(x)=sinωx+sin(ωx-

π

2

)，x∈R．
（1）若ω=

1

2

，求f（x）的最大值及相應的x的集合；
（2）若x=

π

8

是f（x）的一個零點，且0＜ω＜10，求ω的值和f（x）的最小正周期．

Answer 1

分析：（1）將f（x）的解析式第二項利用誘導公式化簡，把ω的值代入，并利用兩角和與差的正弦函數公式及 特殊角的三角函數值化為一個角的正弦函數，由正弦函數的值域求出f（x）的最大值，以及此時x的集合；
（2）由第一問確定的f（x）的解析式以及且x=

π

8

是f（x）的一個零點，將x=

π

8

代入f（x）解析式中化簡，得到f（

π

8

）=0，可得出

ωπ

8

-

π

4

=kπ，k為整數，整理得到ω=8k+2，由ω的范圍列出關于k的不等式，求出不等式的解集得到k的范圍，由k為整數得到k=0，可得出ω=2，確定出函數f（x）解析式，即可求出函數的最小正周期．

解答：解：（1）f（x）=sinωx+sin（ωx-

π

2

）=sinωx-cosωx，…（1分）
當ω=

1

2

時，f（x）=sin

x

2

-cos

x

2

=

2

sin（

x

2

-

π

4

），…（2分）
又-1≤sin（

x

2

-

π

4

）≤1，∴f（x）的最大值為

2

，…（4分）
令

x

2

-

π

4

=2kπ+

π

2

，k∈Z，解得：x=4kπ+

3π

2

，k∈Z，
則相應的x的集合為{x|x=4kπ+

3π

2

，k∈Z}；…（6分）
（2）∵f（x）=

2

sin（ωx-

π

4

），且x=

π

8

是f（x）的一個零點，
∴f（

π

8

）=sin（

ωπ

8

-

π

4

）=0，…（8分）
∴

ωπ

8

-

π

4

=kπ，k∈Z，整理得：ω=8k+2，
又0＜ω＜10，∴0＜8k+2＜10，
解得：-

1

4

＜k＜1，
又k∈Z，∴k=0，ω=2，…（10分）
∴f（x）=

2

sin（2x-

π

4

），
則f（x）的最小正周期為π．…（12分）

點評：此題考查了兩角和與差的正弦函數公式，正弦函數的定義域與值域，正弦函數的圖象與性質，以及三角函數的周期性及其求法，熟練掌握公式是解本題的關鍵．