Question

如圖，中國在索馬里海域值勤的A船接到B處一貨船遇險求救信號，A船立即前往營救，同時把消息告知在A船東偏北60°相距10n，mil的C船，此時C船在B的正西方，相距20n，mil處．
（1）求A船與B船間的距離．
（2）設A船沿直線方向前往B處，其方向與

AB

成θ角求f（x）=7sin²θ•cos2x+2

3

，cos2(x+

π

4

)的值域及單調減區間．

Answer 1

分析：（1）在△ABC中，由已知得到：∠BCA=120°，BC=20，AC=10，再由余弦定理得AB的長，即A船與B船間的距離；
（2）在△ABC中，先由正弦定理得角A的正弦值，從而得出f（x）的表達式，再利用二倍角公式化成：2

3

cos(2x+

π

6

)+

3

的形式，最后利用三角函數的性質救是值域，單調減區間即可．

解答：解：（1）在△ABC中，已知∠BCA=120°，BC=20AC=10由余弦定理得：AB²=BC²+AC²-2BC•AC•cos20°=700，∴AB=10

7

即A船與B船間的距離為10

7

n，mil（4分）
（2）在△ABC中，由正弦定理得

BC

sim?

=

AB

sim120°

，即

20

sim?

=

10 7

sim120°

∴sim?=

21

7

（7分）
f(x)=7×

3

7

cos2x+2

3

•

1+cos(2x+ π 2 )

2

=3cos2x+

3

-

3

sin2x=2

3

cos(2x+

π

6

)+

3

（9分）
故值域[-

3

，，3

3

]，單調減區間為[kπ-

π

12

，kπ+

5π

12

]k∈z（12分）

點評：本題主要考查了解三角形的實際應用．解題的關鍵是利用了余弦定理，利用已知的邊和角建立方程求得距離．