Question

如圖，橢圓C₂

x2

a2

+ 

y2

b2

=1的焦點為F₁，F₂，|A₁B₁|=

7

，S_□B1A1B2A2=2S_□B1F1B2F2．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設n為過原點的直線，l是與n垂直相交與點P，與橢圓相交于A，B兩點的直線|

op

|=1，是否存在上述直線l使

OA

•

OB

=0成立？若存在，求出直線l的方程；并說出；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（Ⅰ）由題意可知a²+b²=7，
∵S_□B1A1B2A2=2S_{□B1F1B2F2，}
∴a=2c．
解得a²=4，b²=3，c²=1．
∴橢圓C的方程為

x2

4

+

y3

3

=1．
（Ⅱ）設A、B兩點的坐標分別為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），假設使

OA

•

OB

=0成立的直線l存在．
（i）當l不垂直于x軸時，設l的方程為y=kx+m，由l與n垂直相交于P點，且|

OP

|=1得

|m|

1+ k2

=1，即m²=k²+1，由

OA

•

OB

=0得x₁x₂+y₁y₂=0，將y=kx+m代入橢圓得（3+4k²）x²+8kmx+（4m²-12）=0，x1+x2=

-8km

3+4k2

，①，x1x2=

4m2-12

3+4k2

，②
0=x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（kx₁+m）（kx₂+m）=x₁x₂+k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²
把①②代入上式并化簡得（1+k²）（4m²-12）-8k²m²+m²（3+4k²）=0，③
將m²=1+k²代入③并化簡得-5（k²+1）=0矛盾．即此時直線l不存在．
（ii）當l垂直于x軸時，滿足|

OP

|=1的直線l的方程為x=1或x=-1，
由A、B兩點的坐標為(1，

3

2

)，(1，-

3

2

)或(-1，

3

2

)，(-1，-

3

2

)．
當x=1時，

OA

•

OB

=(1，

3

2

)• (1，-

3

2

)=-

5

4

≠0．
當x=-1時，

OA

•

OB

=(-1，

3

2

)• (-1，-

3

2

)=-

5

4

≠0．
∴此時直線l也不存在．
綜上所述，使

OA

•

OB

=0成立的直線l不成立．