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(2012•上高縣模擬)如圖,橢圓E:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的右焦點F2與拋物線y2=4x的焦點重合,過F2作與x軸垂直的直線l與橢圓交于S,T,而與拋物線交于C,D兩點,且
|CD|
|ST|
=2
2

(1)求橢圓E的方程;
(2)若過m(2,0)的直線與橢圓E相交于兩點A和B,設P為橢圓E上一點,且滿足
OA
+
OB
=t
OP
(O為坐標原點),求實數t的取值范圍.
分析:(1)由焦點F2(1,0),過F2作與x軸垂直的直線l與橢圓交于S,T,而與拋物線交于C,D兩點,且
|CD|
|ST|
=2
2
,知|CD|=4,|ST|=
2
,由此能求出橢圓方程.
(2)設過m(2,0)的直線為y=k(x-2),由
x2+2y2=2
y=k(x-2)
,得(1+2k2)x2-8k2x+8k2-2=0,設A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0),
x1+x2=tx0
y1+y2=ty0
,由此結合題設條件能求出實數t的取值范圍.
解答:解:(1)∵橢圓E:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的右焦點F2與拋物線y2=4x的焦點重合,
∴焦點F2(1,0),
∵過F2作與x軸垂直的直線l與橢圓交于S,T,而與拋物線交于C,D兩點,且
|CD|
|ST|
=2
2

∴|CD|=4,解得|ST|=
2

∴a=
2
,b=1,c=1,
∴橢圓E的方程是
x2
2
+y2=1

(2)設過m(2,0)的直線為y=k(x-2),
x2+2y2=2
y=k(x-2)
,得(1+2k2)x2-8k2x+8k2-2=0,
設A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0),
x1+x2=tx0
y1+y2=ty0

x0=
1
t
(x1+x2)=
1
t
8k2
1+2k2
y0=
1
t
(y1+y2)=
1
t
(kx1-2k+kx2-2k)=
1
t
-4k2
1+2k2

2=x02+2y02=
1
t2
[(
8k2
1+2k2
)2+
32k2
(1+2k2)2
]

1
8
t2=
4k4+2k2
(1+2k2)2

∵△=(8k22-4(1+2k2)(8k2-2)>0,
∴0≤2k2<1,
1
8
t2=
(2k2)2+2k2
(1+2k2)2
=1-
1
1+2k2

∴t∈(-2,2).
點評:本題考查橢圓方程的求法,考查滿足條件的實數的取值范圍的求法,解題時要認真審題,注意等價轉化思想的合理運用.
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