Question

如圖所示，直線x=2與雙曲線C：的漸近線交于E₁，E₂兩點，記=，=，任取雙曲線C上的點P，若=a+b，則實數a和b滿足的一個等式是    ．

Answer 1

【答案】分析：求出雙曲線C的漸近線方程為y=±x，令x=2，得出直線x=2與雙曲線C的漸近線交于點E₁（2，1）、E₁（2，-1），可得=（2，1），=（2，-1）．再設雙曲線C上的點P坐標為（x，y），根據=a+b，利用向量的坐標運算，可得點P坐標為（2a+2b，a-b），最后將這個坐標代入，化簡后即可得到4ab=1，即為所求．
解答：解：∵雙曲線C的方程是
∴雙曲線C的漸近線方程為y=±x
∴直線x=2與雙曲線C的漸近線交于點E₁（2，1）、E₁（2，-1），可得=（2，1），=（2，-1），
設雙曲線C上的點P坐標為（x，y），
∵=a+b，
∴，即點P坐標為（2a+2b，a-b）
∵點P在雙曲線C：上
∴-（a-b）²=1，即4ab=1
故答案為：4ab=1
點評：本題以向量的坐標運算為載體，考查了雙曲線的基本概念與簡單幾何性質，以及平面向量基本定理等知識點，屬于基礎題．