Question

如圖所示，已知點C的坐標是（2，2），過點C的直線CA與x軸交于點A，過點C且與直線CA垂直的

直線CB與y軸交于點B.設點M是線段AB的中點，求點M的軌跡方程.

Answer 1

x+y-2=0

解析:

方法一（參數法）：設M的坐標為（x,y）.

若直線CA與x軸垂直，則可得到M的坐標為（1，1）.

若直線CA不與x軸垂直，設直線CA的斜率為k，則直線CB的斜率為-，故直線CA方程為：y=k(x-2)+2,

令y=0得x=2-,則A點坐標為.

CB的方程為：y=-(x-2)+2,令x=0,得y=2+，

則B點坐標為，由中點坐標公式得M點的坐標為

                                           ①

消去參數k得到x+y-2=0 (x≠1),

點M（1，1）在直線x+y-2=0上，

綜上所述，所求軌跡方程為x+y-2=0.

方法二 （直接法）設M（x，y），依題意A點坐標為（2x,0）,B點坐標為（0，2y）.

∵|MA|=|MC|，∴化簡得x+y-2=0.

方法三 （定義法）依題意|MA|=|MC|=|MO|,

即:|MC|=|MO|,所以動點M是線段OC的中垂線，故由點斜式方程得到：x+y-2=0.