Question

在平面直角坐標系xOy中，設點M與曲線C_i上任意一點距離的最小值為d_i（i=1，2），若d₁＜d₂，則稱C₁比C₂更靠近點M，下列為假命題的是（　　）

• A、C₁：x=0比C₂：y=0更靠近M（1，-2）
• B、C₁：y=e^x比C₂：xy=1更靠近M（0，0）
• C、若C₁：（x-2）²+y²=1比C₂：x²+（y-2）²=1更靠近點M（m，2m），則m＞0
• D、若m＞1，則C₁：y²=4x比C₂：x-y+m=0更靠近點M（1，0）

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：新定義,函數的性質及應用,直線與圓

分析：運用新定義，由兩點的距離公式計算即可判斷A；
運用曲線的對稱性和導數的運用，判斷單調性和極值以及最值，結合兩點的距離公式，
二次函數的最值，即可判斷B；
運用直線和圓的位置關系，結合新定義，即可判斷C；
運用點到直線的距離公式和二次函數的最值，即可判斷D．

解答： 解：對于A．d₁=|1-0|=1，d₂=|0-（-2）|=2，d₁＜d₂，則為真命題；
對于B．由對稱性可得，C₂：xy=1關于直線y=x對稱，且經過點（0，0），
交點為（1，1），（-1，-1），則d₂=

(0-1)2+(0-1)2

=

2

，由于y=e^x-x-1的導數為e^x-1，
當x＞0時，導數大于0，當x＜0時，導數小于0，則x=0為極小值點們也為最小值點，
則有e^x≥x+1，設C₁：y=e^x上任一點P（x，e^x），即|OP|=

x2+(ex)2

≥

x2+(x+1)2

=

2x2+2x+1

=

2(x+ 1 2 )2+ 1 2

≥

2

2

，即有d₁=

2

2

＜d₂，則B為真命題；
對于C．由于點M（m，2m）在直線y=2x上，C₂：x²+（y-2）²=1為圓心（0，2），
半徑為1的圓，圓心到直線的距離為

2

1+4

＜1即直線和圓C₂相交，
即有交點到M的距離為0，而C₁：（x-2）²+y²=1為圓心（2，0），半徑為1的圓
圓心到直線的距離為

4

1+4

＞1，即有直線和圓C1相離，d₁＞0，則有d₁＞d₂，則C為假命題；
對于D．設P（x，y）為C₁：y²=4x上的點，則|PM|=

y2+( y2 4 -1)2

=

1 16 (y2+4)2

≥1，y=0時，d₁=1；
由于m＞1，則M到C₂：x-y+m=0的距離d₂=

|1-0+m|

2

≥

2

，則有d₁＜d₂，則D為真命題．
故選C．

點評：本題考查新定義的理解和運用，考查兩點的距離和點到直線的距離公式的運用，考查點與圓和直線與圓的位置關系，以及二次函數的最值求法，屬于中檔題和易錯題．