Question

關于x的方程

|1-x2|

+a=x有兩個不相等的實數根，試求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：原方程化為

|1-x2|

=x-a．于是，方程的解的情況可以借助于函數y=x-a（y≥0）與函數y=

|1-x2|

的考查來進行．方程有兩個不相等的實數根即兩個圖象有兩點交點，根據圖形可得實數a的取值范圍．

解答：解：原方程的解可以視為函數y=x-a（y≥0）與函數y=

|1-x2|

的圖象的交點的橫坐標．
而函數y=

|1-x2|

的圖象是由半圓y²=1-x²（y≥0）和等軸雙曲線x²-y²=1（y≥0）在x軸的上半部分的圖象構成．
如圖所示，當0＜a＜1或a=-

2

，a=-1時，
平行直線系y=x-a（y≥0）與y=

|1-x2|

的圖象有兩個不同的交點．
所以，當0＜a＜1或a=-

2

，a=-1時，原方程有兩個不相等的實數根．

點評：此題要求學生掌握直線與圓的位置關系，靈活運用數形結合的數學思想解決實際問題，是一道中檔題．