Question

（2009•普陀區(qū)一模）設關于x的方程

1

|x|-2

=2x+a的解集為A，若A∩R^-=∅，則實數(shù)a的取值范圍是

(4-2

2

，4+2

2

)

．

Answer 1

分析：根據(jù)題意，設關于x的方程

1

|x|-2

=2x+a的解集的解集為空集，故將原方程變形為a=-2x+

1

|x|-2

，記右邊對應的函數(shù)為F（x），求出此函數(shù)的值域，只要實數(shù)a在這個值域之外，即可求出實數(shù)a的取值范圍．

解答：解：關于x的方程

1

|x|-2

=2x+a等價于：a=-2x+

1

|x|-2

，
記F（x）=-2x+

1

|x|-2

=

-2x 2+4x+1 x-2 (x＞0且x≠2) -2x 2-4x-1 x+2 (x＜0且x≠-2)

可得當x＞0且x≠2時，函數(shù)F（x）＞0，且有最小值4+2

2

即函數(shù)F（x）≥4+2

2

當x＜0且x≠-2時，函數(shù)F（x）有最大值4-2

2

即函數(shù)F（x）≤4-2

2

所以函數(shù)F（x）的值域為(-∞，≤4-2

2

]∪[4+2

2

，+∞)
∵關于x的方程

1

|x|-2

=2x+a的解集為A，且A∩R^-=∅
∴a不屬于函數(shù)F（x）的值域，即4-2

2

＜a＜4+2

2

故答案為：(4-2

2

，4+2

2

)

點評：本題以含有絕對值的分式函數(shù)為例，考查了函數(shù)與方程等知識點，屬于難題．將方程進行變量分離，轉(zhuǎn)化為一個新的函數(shù)的值域問題，來研究參數(shù)的取值范圍，是解決本題的主要方法．