Question

若對任意的a∈R，不等式|x|+|x-1|≥|1+a|-|1-a|恒成立，則實數x的取值范圍是

（-∞，-

1

2

]∪[

3

2

，+∞）

．

Answer 1

分析：由于|1+a|-|1-a|≤|1+a+1-a|=2，故原不等式可得|x|+|x-1|≥2．而-

1

2

、

3

2

對應點到0和1對應點的距離之和正好等于2，由此求得|x|+|x-1|≥2的解集．

解答：解：由絕對值不等式的性質可得|1+a|-|1-a|≤|1+a+1-a|=2，∴由原不等式可得|x|+|x-1|≥2．
由于|x|+|x-1|表示數軸上的x對應點到0和1對應點的距離之和，而-

1

2

、

3

2

對應點到0和1對應點的距離之和正好等于2，
故|x|+|x-1|≥2的解集為（-∞，-

1

2

]∪[

3

2

，+∞），
故答案為 （-∞，-

1

2

]∪[

3

2

，+∞）．

點評：本題主要考查絕對值不等式的性質、絕對值的意義，絕對值不等式的解法，體現了等價轉化的數學思想，屬于中檔題．