Question

已知定義域為R的函數f(x)=a+

1

4x+1

是奇函數．
（1）求a的值；
（2）判斷f（x）的單調性（不需要寫出理由）；
（3）若對任意的t∈R，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，求k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題意可得f（x）+f（-x）=0對應任意的x都成立，代入函數可求a
另解：由f（x）是R上的奇函數，可得f（0）=0，代入可求a
（2）由（1）知f(x)=-

1

2

+

1

4x+1

，結合指數函數的性質可判斷函數單調性
（3）：解法一：由f（x）是奇函數，可得f（t²-2t）＜-f（2t²-k）=f（-2t²+k），結合f（x）在R上為減函數，得：t²-2t＞-2t²+k．，結合二次函數性質可求
解法二：由（1）知f(x)=

-4 x+1

2•4x+2

，由單調性的定義可得43t2-2t-k＞1，同法一可求

解答：解：（1）函數f（x）的定義域為R，因為f（x）是奇函數，所以f（x）+f（-x）=0，
即a+

1

4x+1

+a+

1

4-x+1

=2a+

1

4x+1

+

4x

1+4x

=2a+1=0，
故a=-

1

2

．
另解：由f（x）是R上的奇函數，所以f（0）=0，
故a=-

1

2

．
（2）由（1）知f(x)=-

1

2

+

1

4x+1

，
由上式易知f（x）在R上為減函數，
（3）：（解法一）又因f（x）是奇函數，從而不等式等價于f（t²-2t）＜-f（2t²-k）=f（-2t²+k）．
∵f（x）在R上為減函數，由上式得：t²-2t＞-2t²+k．
即對一切t∈R有3t²-2t-k＞0，
從而判別式△=4+12k＜0
∴k＜-

1

3

解法二：由（1）知f(x)=

-4 x+1

2•4x+2

，又由題設條件得：

-4 t2-2t+1

2•4t2-2t+2

+

-42t2-k+1

2•42t2-k+2

＜0
即(42t2-k+1)(-4t2-2t+1)+(4t2-2t+1)(-42t2-k+1)＜0
整理得43t2-2t-k＞1，因底數4＞1，故3t²-2t-k＞0
上式對一切t∈R均成立，從而判別式△=4+12k＜0
∴k＜-

1

3

點評：本題主要考查了奇函數的定義f（-x）=-f（x）及奇函數的性質f（0）=0的應用，函數的單調性的判斷及函數的恒成立與函數的最值求解的相互關系的轉化，屬于函數的綜合應用．