Question

已知函數f（x）=x³-3ax（a∈R）
（1）當a=1時，求f（x）的極小值；
（2）若直線x+y+m=0對任意的m∈R都不是曲線y=f（x）的切線，求a的取值范圍；
（3）設g（x）=|f（x）|，x∈[-1，1]，求g（x）的最大值F（a）的解析式．

Answer 1

分析：（1）由f（x）=x³-3ax，得f′（x）=3x²-3a，當f′（x）＞0，f′（x）＜0時，分別得到f（x）的單調遞增區間、單調遞減區間，由此可以得到極小值為f（1）=-2．
（2）要使直線x+y+m=0對任意的m∈R都不是曲線y=f（x）的切線，只需令直線的斜率-1小于f（x）的切線的最小值即可，也就是-1＜-3a．
（3）由已知易得g（x）為[-1，1]上的偶函數，只需求在[0，1]上的最大值F（a）．有必要對a進行討論：①當a≤0時，f′（x）≥0，得F（a）=f（1）=1-3a；②當a≥1時，f（x）≤0，且f（x）在[0，1]上單調遞減，得g（x）=-f（x），則F（a）=-f（1）=3a-1；當0＜a＜1時，得f（x）在[0，

a

]上單調遞減，在[

a

，1]上單調遞增．當f（1）≤0時，f（x）≤0，所以得g（x）=-f（x），F（a）=-f（

a

）=2a

a

，當f（1）＞0，需要g（x）在x=

a

處的極值與f（1）進行比較大小，分別求出a的取值范圍，即綜上所述求出F（a）的解析式．

解答：解：（1）∵當a=1時，f′（x）=3x²-3，令f′（x）=0，得x=-1或x=1，當f′（x）＜0，即x∈（-1，1）時，f（x）為減函數；當f′（x）＞0，即x∈（-∞，-1]，或x∈[1，+∞）時，f（x）為增函數．∴f（x）在（-1，1）上單調遞減，在（-∞，-1]，[1，+∞）上單調遞增∴f（x）的極小值是f（1）=-2
（2）∵f′（x）=3x²-3a≥-3a，∴要使直線x+y+m=0對任意的m∈R都不是曲線y=f（x）的切線，當且僅當-1＜-3a時成立，∴a＜

1

3

（3）因g（x）=|f（x）|=|x³-3ax|在[-1，1]上是偶函數，故只要求在[0，1]上的最大值
①當a≤0時，f′（x）≥0，f（x）在[0，1]上單調遞增且f（0）=0，∴g（x）=f（x），F（a）=f（1）=1-3a．
②當a＞0時，f′(x)=3x2-3a=3(x+

a

)(x-

a

)，
（ⅰ）當

a

≥1，即a≥1時，g（x）=|f（x）|=-f（x），-f（x）在[0，1]上單調遞增，此時F（a）=-f（1）=3a-1
（ⅱ）當0＜

a

＜1，即0＜a＜1時，當f′（x）＞0，即x＞

a

或x＜-

a

時，f（x）單調遞增；當f′（x）＜0，即-

a

＜x＜

a

時，f（x）單調遞減．所以f(x)在[0，

a

]上單調遞減，在[

a

，1]單調遞增．
1°當f(1)=1-3a≤0，即

1

3

≤a＜1時，g(x)=|f(x)|=-f(x)，-f(x)在[0，

a

]上單調遞增，在[

a

，1]上單調遞減，F(a)=-f(

a

)=2a

a

；
2°當f(1)=1-3a＞0，即0＜a＜

1

3

（ⅰ）當-f(

a

)≤f(1)=1-3a，即0＜a≤

1

4

時，F(a)=f(1)=1-3a
（ⅱ）當-f(

a

)＞f(1)=1-3a，即

1

4

＜a＜

1

3

時，F(a)=-f(

a

)=2a

a

綜上所述F(x)=

1-3a，(a≤ 1 4 ) 2a a ，( 1 4 ＜a＜1) 3a-1，(a≥1)

點評：本題綜合性較強，主要考查導數的單調性、極值、最值等函數基礎知識，尤其第三小題，考查帶有參數的函數題型，更是值得推敲，希望在平時，多加練習，掌握其要領．