Question

已知數列{a_n}前n項和S_n=2n²-3n，數列{b_n}是各項為正的等比數列，滿足a₁=-b₁，b₃（a₂-a₁）=b₁．
（1）求數列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（2）記c_n=a_n•b_n，求c_n的最大值．

Answer 1

分析：（1）當n=1時，a₁=s₁=-1，當n≥2時，利用a_n=s_n-s_n-1得到a_n的通項公式，把n=1代入也滿足，得到即可；因為數列{b_n}是各項為正的等比數列，可設公比為q且b₁=-a₁=1，則根據b₃（a₂-a₁）=b₁即可解出q，然后利用等比數列的通項公式得到b_n的通項；
（2）把a_n和b_n的通項公式代入到c_n=a_n•b_n中，由c_n≥c_n-1且c_n≥c_n+1列出不等式求出解集中的正整數解得到c_n的最大值

解答：解：（1）∵an=

S1n=1 Sn-Sn-1，n≥2

，
∴an=

-1，n=1 4n-5，n≥2

，
即an=4n-5（n∈N*）由已知b₁=1，b₁q²（a₂-a₁）=b₁，
∴q2=

1

4

∵b_n＞0，∴q=

1

2

，∴bn=(

1

2

)n-1
（2）cn=(4n-5)(

1

2

)n-1由

cn≥cn-1 cn≥cn+1

得n=3．即c₃最大，最大值為

7

4

．

點評：考查學生會利用a_n=s_n-s_n-1得到a_n的通項公式，靈活運用等比數列的通項公式，會利用不等數求數列和的最大值．