Question

已知數列{a_n}前n項和S_n和通項a_n滿足Sn=-

1

2

(an-1)
（1）求數列{a_n}的通項公式； 
（2）試證明Sn＜

1

2

；
（3）設函數f(x)=log

1

3

x，b_n=f（a₁）+f（a₂）+…+f（a_n），求

1

b1

+

1

b2

+…+

1

b99

的值．

Answer 1

分析：本題考查的是數列與不等式的綜合類問題．在解答時：
（1）充分利用數列通項與前n項和之間的關系，分n=1和n＞1分別推導并注意能合并的合并，即可獲得問題的解答；
（2）結合數列{a_n}通項的特點即可判斷數列為等比數列，利用等比數列的前n項和公式即可獲得n項的表達式，再利用放縮法即可獲得問題的解答；
（3）結合函數解析式和數列的通項公式即可獲得數列{b_n}的通項公式bn=

n(n+1)

2

，n∈N*，再利用裂項法即可獲得問題的解答．

解答：解：（1）n=1，a1=-

1

2

(a1-1)
∴a1=

1

3

n≥2時，an=Sn-Sn-1=-

1

2

(an-1)+

1

2

(an-1-1)
∴an=

1

3

an-1
∴an=(

1

3

)n
∴an=(

1

3

)n(n∈N*)．
（2）Sn=

1

3

+(

1

3

)2++(

1

3

)n=

1 3 (1- 1 3n )

1- 1 3

=

1

2

(1-

1

3n

)＜

1

2

，
∴Sn＜

1

2

．
（3）∵f(x)=log

1

3

x
∴f(an)=log

1

3

(

1

3

)n=n，
b_n=f（a₁）+f（a₂）+…+f（a_n）=1+2++n=

n(n+1)

2

，
∴

1

b1

+

1

b2

++

1

b99

=

2

1•2

+

2

2•3

++

2

99•100

=2(1-

1

100

)=

198

100

=1.98．

點評：本題考查的是數列與不等式的綜合類問題．在解答的過程當中充分體現了數列通項與前n項和之間的關系、放縮法以及裂項法．值得同學們體會和反思．