Question

已知函數f （x）=e^g（x），g （x）=（e是自然對數的底），
（1）若函數g （x）是（1，+∞）上的增函數，求k的取值范圍；
（2）若對任意的x＞0，都有f （x）＜x+1，求滿足條件的最大整數k的值；
（3）證明：ln（1+1×2）+ln（1+2×3）+…+ln[1+n （n+1）]＞2n-3 （n∈N*）．

Answer 1

【答案】分析：（1）求出g′（x）的解析式，由g （x）是（1，+∞）上的增函數，可得g′（x）＞0，求得k的取值范圍．
（2）由條件得到f （1）＜2，可得k＜2ln2＜3，猜測最大整數k=2，利用導數證明證明對任意x＞0恒成立，得到整數k的最大值為2．
（3）由（2）得到不等式 ，故有 ，故要證的不等式左邊＞ =．
解答：解：（1）設，因為g （x）是（1，+∞）上的增函數，
所以g′（x）＞0，得到k＞-1；所以k的取值范圍為（-1，+∞）．
（2）由條件得到f （1）＜2，猜測最大整數k=2，
現在證明對任意x＞0恒成立．
等價于 ，
設，
故x∈（0，2）時，h′（x）＜0，當x∈（2，+∞）時，h′（x）＞0，
所以對任意的x＞0都有h （x）≥h （2）=ln3+1＞2，即對任意x＞0恒成立，
所以整數k的最大值為2．                  
（3）由（2）得到不等式 ，∴，
ln（1+1×2）+ln（1+2×3）+…+ln[1+n （n+1）]＞＞，
所以原不等式成立．
點評：本題考查利用導數研究函數的單調性和最值，用放縮法證明不等式，其中，用放縮法證明不等式，是解題的難點．