Question

某加工廠用某種原料加工產(chǎn)品，甲車間加工A產(chǎn)品，乙車間加工B產(chǎn)品．甲車間加工一箱原料需耗費工時10小時可加工出7千克A產(chǎn)品，每千克A產(chǎn)品獲利40元，乙車間加工一箱原料需耗費工時6小時可加工出4千克B產(chǎn)品，每千克B產(chǎn)品可獲利50元．甲、乙兩車間每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙車間耗費工時總和不得超過480小時．
（1）設(shè)每天甲車間加工原料x箱，乙車間加工原料y箱，寫出變量x，y的數(shù)學(xué)關(guān)系式；
（2）甲、乙兩車間每天加工原料多少箱獲利最大？

Answer 1

分析：（1）本題考查的知識點是簡單線性規(guī)劃的應(yīng)用，設(shè)出甲車間加工原料x箱，乙車間加工原料y箱，根據(jù)題意甲車間加工一箱原料需耗費工時10小時可加工出7千克A產(chǎn)品，每千克A產(chǎn)品獲利40元，乙車間加工一箱原料需耗費工時6小時可加工出4千克B產(chǎn)品，每千克B產(chǎn)品可獲利50元，列出不等式組，可以得到變量x，y的數(shù)學(xué)關(guān)系式；
（2）找出目標(biāo)函數(shù)，畫出可行域，利用線性規(guī)劃的問題進行求解；

解答：解：（1）設(shè)甲車間加工原料x箱，
乙車間加工原料y箱，
∵甲車間加工一箱原料需耗費工時10小時可加工出7千克A產(chǎn)品，每千克A產(chǎn)品獲利40元，乙車間加工一箱原料需耗費工時6小時可加工
則出4千克B產(chǎn)品，每千克B產(chǎn)品可獲利50元，
∴

x+y≤70 10x+6y≤480 x，y∈N

；
（2）要求甲、乙兩車間每天加工原料多少箱獲利最大，我們可以設(shè)目標(biāo)函數(shù)，z=280x+200y，
結(jié)合圖象的可行域可得：

可得A

x+y=70 10x+6y=480

解得A（15，55）
目標(biāo)函數(shù)在點A處取得最大值，此時x=15，y=55，z_max=280×15+200×55=15200；

點評：在解決線性規(guī)劃問題是，我們常尋找邊界點，代入驗證確定最值，此題是一道基礎(chǔ)題；