Question

如果直線x+y+m=0與圓x²+y²=2交于相異兩點A、B，O是坐標原點，|

OA

+

OB

|＞|

OA

-

OB

|，那么實數m的取值范圍是（　　）

• A、(-

  2

  ，

  2

  )
• B、(

  2

  ，2)
• C、(-2，-

  2

  )∪(

  2

  ，2)
• D、（-2，2）

Answer 1

分析：根據直線與圓交于相異的兩點可推斷出圓心到直線的距離小于半徑，同時根據|

OA

+

OB

|＞|

OA

-

OB

|推斷出故

OA

和

OB

的夾角為銳角．利用直線的斜率可知直線與x的負半軸的夾角為45度，當

OA

和

OB

的夾角為直角時，可求得原點到直線的距離，進而可求得d的范圍，過原點作一直線與x+y+m=0垂直，求得焦點坐標，則可表示圓心到直線的距離的表達式，進而根據d范圍確定m的范圍．

解答：解：∵直線x+y+m=0與圓x²+y²=2交于相異兩點A、B，
∴O點到直線x+y+m=0的距離 d＜

2

，
又∵|

OA

+

OB

|＞|

OA

-

OB

|，
由平行四邊形可知，夾角為鈍角的鄰邊所 對的對角線比夾角為銳角的鄰邊所對的對角線短，故

OA

和

OB

的夾角為銳角．
又∵直線x+y+m=0的斜率為-1，即直線與x的負半軸的夾角為45度，當

OA

和

OB

的夾角為直角時，直線與圓交于（-

2

，0）、（0，-

2

），此時原點與直線的距離為1，
故d＞1 即1＜d＜

2

，
過原點作一直線與x+y+m=0垂直，即y=x，兩直線交點為（-

m

2

，-

m

2

） 則d=

|m|

2

綜上有：-2＜m＜-

2

或

2

＜m＜2
故選C

點評：本題主要考查了直線與圓相交的性質．考查了學生數形結合思想和轉化與化歸思想的運用．