Question

已知函數f(x)=

1-m+lnx

x

，m∈R．
（I）若m=1，判斷函數在定義域內的單調性；
（II）若函數在（1，e）內存在極值，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）先求函數的導數，當m=1時，令導數大于0，解得x的范圍為函數的增區間，令x小于0，解得x的范圍為函數的減區間．
（II）求出函數的導數，令導數等于0，求得x的值為e^m，此時函數有可能存在極值，再判斷x=e^m左右兩側導數的正負，可知當x=e^m時函數有極大值，因為已知函數在（1，e）內存在極值，所以得到1＜e^m＜e，解不等式即可求出m的范圍．

解答：解：（I）顯然函數定義域為（0，+∞）
若m=1，則f(x)=

lnx

x

，
由導數運算法則知f′(x)=

1-lnx

x2

．
令f'（x）＞0，即

1-lnx

x2

＞0，
∴1-lnx＞0，解得x＜e．
令f'（x）＜0，即

1-lnx

x2

＜0，
∴1-lnx＜0，解得x＜e．
又∵函數定義域為（0，+∞）
∴函數的增區間為∈（0，e），函數的間區間為（e，+∞）．  
（II）由導數運算法則知，f′(x)=

m-lnx

x2

．
令f'（x）=0，得x=e^m．
當x∈（0，e^m）時，f'（x）＞0，f（x）單調遞增；
當x∈（e^m，+∞）時，f'（x）＜0，f（x）單調遞減．  
故當x=e^m時，f（x）有極大值，
又∵函數在（1，e）內存在極值
∴1＜e^m＜e，解得0＜m＜1

點評：本題主要考查函數的導數與單調區間，極值的關系，求單調區間時，注意單調區間是定義域的子區間．