Question

設函數y=ax³+bx²+cx+d的圖象與y軸交點為P，且曲線在P點處的切線方程為24x+y-12=0，若函數在x=2處取得極值為-16．
（1）求函數解析式；
（2）確定函數的單調遞增區間；
（3）證明：當x∈（-∞，0）時，y＜92.5．

Answer 1

（1）解：求導函數，可得由y′=3ax²+2bx+c，∴f′（0）=c，
∵切線24x+y-12=0的斜率k=-24，∴c=-24，
把x=0代入24x+y-12=0得y=12，∴P點的坐標為（0，12），由此得d=12，
∴f（x）即可寫成f（x）=ax³+bx²-24x+12．
由函數f（x）在x=2處取得極值-16，則得
解得a=1，b=3．
∴f（x）=x³+3x²-24x+12，
（2）解：f′（x）=3x²+6x-24．
令f′（x）＜0，得-4＜x＜2；令f′（x）＞0，得x＜-4或x＞2．
∴函數遞減區間為（-4，2），遞增區間為（-∞，-4），（2，+∞）．
（3）證明：由（2）知當x∈（-∞，0）時，x=-4是函數的極大值點，且是唯一的極值點，所以x=-4時的函數值是函數的最大值．
∴當x∈（-∞，0）時，函數的最大值為92
∴當x∈（-∞，0）時，y＜92.5．
分析：（1）要確定解析式，即求a，b，c，d這四個參數，由f′（0）=c，且切線24x+y-12=0可解得c，把x=0代入24x+y-12=0可得P點的坐標為解d，再由函數f（x）在x=2處取得極值-16，解得a，b，從而求得解析式；
（2）利用f′（x）＜0，確定函數的單調減區間；利用f′（x）＞0，確定函數的單調增區間；
（3）利用導數確定當x∈（-∞，0）時，函數的最大值，即可得到結論．
點評：本題主要考查了函數的極值點，導數的幾何意義以及用導數法研究函數的單調性及求函數的單調區間，屬中檔題．