Question

已知函數f（x）=ax³+bx+c在x=1處取得極值c-4．
（1）求a，b；
（2）設函數y=f（x）為R上的奇函數，求函數f（x）在區間（-2，0）上的極值．

Answer 1

分析：（1）對f（x）求導數f′（x），導數等于0時f（x）取得極值，可以得到a，b的值；
（2）由f（x）是奇函數，可得c=0，從而得f（x）解析式，求f′（x），根據f′（x）的正負判定f（x）的極值情況并求出．

解答：解：（1）∵f（x）=ax³+bx+c，
∴f′（x）=3ax²+b；
又f（x）在x=1處取得極值c-4，
∴

f(1)=c-4 f′(1)=0

，即

a+b+c=c-4 3a+b=0

，∴

a=2 b=-6

；
（2）∵y=f（x）為R上的奇函數，
∴f（-x）=-f（x），即a（-x）³+b（-x）+c=-（ax³+bx+c），
∴c=0，∴f（x）=2x³-6x；
∴f′（x）=6x²-6=6（x+1）（x-1），
令f′（x）=0，得x=-1或x=1，∵x∈（-2，0），∴取x=-1；
∴當x∈（-2，-1），f′（x）＞0，當x∈（-1，0）時，f′（x）＜0；
∴f（x）在x=-1處有極大值為f（-1）=-2+6=4，無極小值．

點評：本題考查了根據導函數f′（x）的正負來判定原函數f（x）的增減性與求函數f（x）的極值的問題，是中檔題．