Question

已知：向量，O為坐標原點，動點M滿足：.
(1) 求動點 M的軌跡 C的方程；
（2）已知直線、都過點，且，、與軌跡C分別交于點D、E.是否存在這樣的直線、,使得△BDE是等腰直角三角形?若存在，指出這樣的直線共有幾組(無需求出直線的方程)；若不存在，請說明理由.

Answer 1

設點，則         …… 1分
∵  
∴   ……… ……… ……… 2分
∴點 M的軌跡C是以為焦點，長軸長為 4 的橢圓……… …… ……… 4分
∴   ∴   
∴ 動點M的軌跡 C的方程為    ……… ……… ……… 6分
 
(2)由（1）知，軌跡C是橢圓，點是它的上頂點，             
設滿足條件的直線、存在，直線的方程為  ①
則直線的方程為，② ……… ……… ……… 7分
將①代入橢圓方程并整理得：，可得，則.
將②代入橢圓方程并整理得：，可得，則.
由△BDE是等腰直角三角形得

  …………11分
∴或    ④…………………………………………12分
∵方程④或.
∴即滿足條件的直線、存在，共有3組．

解析