Question

（本小題滿分14分）

已知：向量，O為坐標原點，動點M滿足：.

求動點 M 的軌跡 C 的方程；

（2）已知直線、都過點，且，、與軌跡C分別交于點D、E，試探究是否存在這樣的直線？使得△BDE是等腰直角三角形.若存在，指出這樣的直線共有幾組(無需求出直線的方程)；若不存在，請說明理由.

Answer 1

(1)解法１：設------------------------------ 1分

則=>------ 4分

∴動點M 的軌跡為以、為焦點，長軸長為 4的橢圓  -----------------5分

由 ∴ ----------------------------- 6分

∴    動點M 的軌跡 C的方程為   ---------------------------------7分

[解法２：設點，

則------------------------2分

∵     

∴ ------------------------------ 4分

∴點 M 的軌跡C是以為焦點，長軸長為 4 的橢圓     ------------5分

∴  ∴      --------------------------6分

∴    動點M 的軌跡 C的方程為   ------------------7分]

 (2)由（1）知，軌跡C是橢圓，點是它的上頂點，             

設滿足條件的直線、存在，直線的方程為----①

則直線的方程為，-------------②--------------------------------------------------------------8分

將①代入橢圓方程并整理得：，可得，則.--9分

將②代入橢圓方程并整理得：，可得，則.---10分

由△BDE是等腰直角三角形得

----③--------12分

∴或-----④-----------------------------------------------------------------------13分

∵方程④的根判別式，即方程④有兩個不相等的實根，且不為1.

∴方程③有三個互不相等的實根.

即滿足條件的直線、存在，共有3組．-----------------------------------------------------------14分

（注：只答存在1組，給2分）