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已知:向量O為坐標原點,動點M滿足:.

(1)  求動點 M 的軌跡 C 的方程;

(2)已知直線都過點,且與軌跡C分別交于點D、E.是否存在這樣的直線,使得△BDE是等腰直角三角形?若存在,指出這樣的直線共有幾組(無需求出直線的方程);若不存在,請說明理由.

 

【答案】

設點,則         ……  1分

  

   ……… ……… ………  2分

∴點 M 的軌跡C是以為焦點,長軸長為 4 的橢圓……… ……  ……… 4分

   ∴    

∴  動點M 的軌跡 C的方程為    ………  ………  ………  6分

 

  

 

(2)由(1)知,軌跡C是橢圓,點是它的上頂點,             

設滿足條件的直線存在,直線的方程為  ①

則直線的方程為,② ………  ………  ……… 7分

將①代入橢圓方程并整理得:,可得,則.

將②代入橢圓方程并整理得:,可得,則.

由△BDE是等腰直角三角形得

  …………11分

    ④…………………………………………12分

∵方程④.

∴即滿足條件的直線存在,共有3組.

【解析】略

 

練習冊系列答案
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求動點 M 的軌跡 C 的方程;

(2)已知直線都過點,且與軌跡C分別交于點D、E,試探究是否存在這樣的直線?使得△BDE是等腰直角三角形.若存在,指出這樣的直線共有幾組(無需求出直線的方程);若不存在,請說明理由.

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