Question

已知函數f(x)=

3

sin

3

2

x+cos

3

2

x+a恒過點(-

π

3

，1)．
（1）求a的值；
（2）求函數y=f（x）的最小正周期及單調遞減區間．

Answer 1

分析：（1）把點的坐標代入函數表達式，即可求a的值；
（2）利用兩角和的正弦函數化簡函數為一個角的一個三角函數的形式，利用周期公式求解函數y=f（x）的最小正周期，結合正弦函數的單調減區間求出函數的單調遞減區間．

解答：解：（1）依題意得

3

sin[

3

2

×(-

π

3

)]+cos[

3

2

×(-

π

3

)]+a=1（3分）
解得a=1+

3

（5分）
（2）由f(x)=

3

sin

3

2

x+cos

3

2

x+a=2sin(

3

2

x+

π

6

)+1+

3

（7分）
∴函數y=f（x）的最小正周期T=

2π

3 2

=

4π

3

（8分）
由2kπ+

π

2

≤

3

2

x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

，得

4kπ

3

+

2π

9

≤x≤

4kπ

3

+

8π

9

（k∈Z）（12分）
∴函數y=f（x）的單調遞減區間為[

4kπ

3

+

2π

9

，

4kπ

3

+

8π

9

](k∈Z)（13分）

點評：本題是中檔題，考查特殊角的三角函數值，三角函數的化簡，周期的求法，單調減區間的求法，考查計算能力，注意基本函數的基本性質的靈活運應，是解好數學題目的關鍵，常考題型．