Question

一動圓與兩圓（x+4）²+y²=25和（x-4）²+y²=4都外切，則動圓圓心M的軌跡方程是

4x2

9

-

4y2

55

=1（x＞0）

．

Answer 1

分析：設動圓P的半徑為r，然后根據動圓與圓（x+4）²+y²=25，圓（x-4）²+y²=1都外切得|MO|=5+r、|MF|=2+r，再兩式相減消去參數r，則滿足雙曲線的定義，找出a與b的值，寫出雙曲線的方程即為動點M的軌跡方程，問題得到解決．

解答：解：設動圓的半徑為r，
由圓（x+4）²+y²=25，得到圓心為O（-4，0），半徑為5；
圓（x-4）²+y²=4的圓心為F（4，0），半徑為2．
依題意得|MO|=5+r，|MF|=2+r，
則|MO|-|MF|=（5+r）-（2+r）=3＜|OF|，
所以點M的軌跡是雙曲線的右支．
∴a=

3

2

，c=4，
∴b²=c²-a²=

55

4

，
則動圓圓心M的軌跡方程是

4x2

9

-

4y2

55

=1（x＞0）．
故答案為：

4x2

9

-

4y2

55

=1（x＞0）

點評：本題主要考查雙曲線的定義．本題考查的知識點是圓的方程、橢圓的性質及橢圓與直線的關系，解題的關鍵是根據已知條件中未知圓與已知圓的位置關系，結合“圓的位置關系與半徑及圓心距的關系”，探究出動圓圓心M的軌跡，進而給出動圓圓心M的軌跡方程．