Question

（23）設數列{a_n}的前n項和為S_n，已知a₁＝1，a₂＝6，a₃＝11，且

其中A,B為常數.

（Ⅰ）求A與B的值；

（Ⅱ）證明數列{a_n}為等差數列；

（Ⅲ）證明不等式對任何正整數m、n都成立.

Answer 1

（23）解：（Ⅰ）由已知，得S₁=a₁=1，S₂=a₁+a₂=7，S₃=a₁+a₂+a₃=18.

由（5n－8）S_n+1－（5n+2）S_n=An+B知

解得               A=－20，B=－8.

（Ⅱ）方法1

由（Ⅰ）得

（5n－8）S_n+1－（5n+2）S_n=－20n－8，                   ①

所以

（5n－3）S_n+2－（5n+7）S_n+1=－20n－28.                  ②

②-①，得       

（5n－3）S_n+2－（10n－1）S_n+1+（5n+2）S_n=－20，         ③

所以            

（5n+2）S_n+3－（10n+9）S_n+2+（5n+7）S_n+1=－20.          ④

④-③，得       

（5n+2）S_n+3－（15n+6）S_n+2+（15n+6）S_n+1－（5n+2）S_n=0.

因為              a_n+1=S_n+1－S_n，

所以             （5n+2）a_n+3－（10n+4）a_n+2+（5n+2）a_n+1=0.

又因為            5n+2≠0，

所以              a_n+3－2a_n+2+a_n+1=0，

即                a_n+3－a_n+2=a_n+2－a_n+1,     n≥1.

又                a₃－a₂=a₂－a₁=5，

所以數列{a_n}為等差數列。

方法2

由已知，S₁=a₁=1，

又   （5n－8）S_n+1－（5n+2）S_n=－20n－8，且 5n－8≠0，

所以數列{S_n}是惟一確定的，因而數列{a_n}是惟一確定的。

設b_n=5n－4，則數列{b_n}為等差數列，前n項和T_n=.

于是   （5n－8）T_n+1－（5n+2）T_n

      =（5n－8）＝－20n－8

由惟一性得b_n=a_n，即數列{a_n}為等差數列。

（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，a_n=1+5（n－1）=5n－4.

要證          >1，

只要證        5a_mn>1+a_ma_n+2.

因為        

 a_mn=5mn－4，a_ma_n=（5m－4）（5n－4）=25mn－20（m+n）+16 ，

故只要證      5（5mn－4）>1+25mn－20（m+n）+16+2，

即只要證      20m+20n－37>2.

因為          2≤a_m+a_n=5m+5n－8

                      <5m+5n－8+（15m+15n－29）

                      =20m+20n－37，

所以命題得證。