Question

設數列{a_n}的前n項和為S_n．已知a₁=1，

2Sn

n

=an+1-

1

3

n2-n-

2

3

，n∈N^*．
（Ⅰ）求a₂的值；
（Ⅱ）求數列{a_n}的通項公式．

Answer 1

分析：（I）對于a₁=1，

2Sn

n

=an+1-

1

3

n2-n-

2

3

，n∈N^*．取n=1即可；
（II）利用a₁=1，

2Sn

n

=an+1-

1

3

n2-n-

2

3

，n∈N^*．及n≥2，a_n=S_n-S_n-1即可得出．

解答：解：（I）由a₁=1，

2Sn

n

=an+1-

1

3

n2-n-

2

3

，n∈N^*．取n=1，則

2a1

1

=a2-

1

3

-1-

2

3

，解得a₂=4．
（II）∵

2Sn

n

=an+1-

1

3

n2-n-

2

3

，n∈N^*，
∴2Sn=nan+1-

1

3

n3-n2-

2

3

n．
當n≥2時，2S_n-1=（n-1）a_n-

1

3

(n-1)3-(n-1)2-

2

3

(n-1)，
兩式相減得

an+1

n+1

-

an

n

=1，
∴數列{

an

n

}是以

a1

1

=1為首項，1為公差的等差數列，
∴

an

n

=1+(n-1)×1=n，
∴a_n=n²．

點評：本題考查了利用“n≥2時，a_n=S_n-S_n-1”求通項公式、等差數列的通項公式、可轉化為等差數列的數列的通項公式的求法等基礎知識與基本技能方法，屬于難題．