Question

已知數列{a_n}的前n項和為S_n，a₁=

1

2

，且滿足a_n+2S_nS_n-1=0（n≥2）
（1）求數列{a_n}的通項公式
（2）求證：

S

2 1

+S

2 2

+…+S

2 n

≤

1

2

-

1

4n

．

Answer 1

分析：（1）由已知結合數列的項與和之間的遞推關系可得

1

Sn

-

1

Sn-1

=2，結合等差數列的通項可求

1

Sn

，進而可求
（2）先檢驗n=1時，然后n≥2時，Sn=

1

4n2

代入不等式的左邊，利用放縮

1

n2

＜

1

n(n-1)

及裂項求和即可證明

解答：解：（1）∵a_n+2S_nS_n-1=0
∴S_n-S_n-1+2S_nS_n-1=0
兩邊同時除以S_nS_n-1可得

1

Sn

-

1

Sn-1

=2，
∵

1

S1

=

1

a1

=2
∴數列{

1

Sn

}是以2為首項以2為公差的等差數列
∴

1

Sn

=2+2(n-1)=2n------------------------（3分）
當n≥2時，a_n=-2S_nS_n-1=-2×

1

2n

×

1

2n-2

=-

1

2n(n-1)

而a1=

1

2

∴an=

1 2 ，n=1 - 1 2n(n-1) ，n≥2

-----------------------------------（6分）
證明：（2）∵n≥2時，Sn=

1

4n2

n=1時S12=

1

4

≤

1

4

 成立
n＞1時，左式=

1

4

(1+

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

)
≤

1

4

[1+

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

n(n-1)

]
=

1

4

[1+1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n-1

-

1

n

]
=

2- 1 n

4

=

1

2

-

1

4n

∴

S

2 1

+S

2 2

+…+S

2 n

≤

1

2

-

1

4n

．---------------------------------------------------（12分）

點評：本題主要考查了利用數列的遞推公式構造等差數列求解通項公式及數列的裂項求和在不等式的證明中的應用．