Question

已知 1≤x+y≤5，-1≤x-y≤3，求2x-3y的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：該問題是已知不等關系求范圍的問題，若用不等式的性質求解，容易使未知數的范圍擴大，導致結果錯誤．若把1≤x+y≤5，-1≤x-y≤3，看作是變量x，y的線性約束條件，把求2x-3y的取值范圍看作是求目標函數 z=2x-3y范圍，就成了一個線性規劃問題了．因此可按照解決線性規劃問題的方法進行．
解答：解：畫出二元一次不等式組所表示的平面區域（如圖所示），
畫出直線2x-3y=0，并平移使之經過可行域，觀察圖形可知，當直線經過點A時，直線的縱截距最大，此時z最小．當直線經過點B時，直線的縱截距最小，此時z最大．
解方程組得A（2，3），所以z_min=2×2-3×3=-5．
解方程組得B（2，-1），所以z_max=2×2-3×（-1）=7．
所以2x-3y的取值范圍是[-5，7]．
點評：本題考查簡單線性規劃問題，可以作圖利用線性規劃知識解決，也可以用待定系數法，利用不等式的性質解決，是中檔題．