Question

已知 1≤x+y≤5，-1≤x-y≤3，求2x-3y的取值范圍．

Answer 1

分析：該問(wèn)題是已知不等關(guān)系求范圍的問(wèn)題，若用不等式的性質(zhì)求解，容易使未知數(shù)的范圍擴(kuò)大，導(dǎo)致結(jié)果錯(cuò)誤．若把1≤x+y≤5，-1≤x-y≤3，看作是變量x，y的線性約束條件，把求2x-3y的取值范圍看作是求目標(biāo)函數(shù) z=2x-3y范圍，就成了一個(gè)線性規(guī)劃問(wèn)題了．因此可按照解決線性規(guī)劃問(wèn)題的方法進(jìn)行．

解答：解：畫出二元一次不等式組

1≤x+y≤5 -1≤x-y≤3

所表示的平面區(qū)域（如圖所示），
畫出直線2x-3y=0，并平移使之經(jīng)過(guò)可行域，觀察圖形可知，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，直線的縱截距最大，此時(shí)z最小．當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B時(shí)，直線的縱截距最小，此時(shí)z最大．
解方程組

x-y=-1 x+y=5

得A（2，3），所以z_min=2×2-3×3=-5．
解方程組

x-y=3 x+y=1

得B（2，-1），所以z_max=2×2-3×（-1）=7．
所以2x-3y的取值范圍是[-5，7]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查簡(jiǎn)單線性規(guī)劃問(wèn)題，可以作圖利用線性規(guī)劃知識(shí)解決，也可以用待定系數(shù)法，利用不等式的性質(zhì)解決，是中檔題．