Question

“星光大道”是備受觀眾喜愛的央視欄目，現有3位周冠軍A、B、C和甲、乙兩位挑戰者參加12月的月冠軍比賽，比賽規則：第一輪甲、乙兩位挑戰者從3位周冠軍中各選一位周冠軍進行比賽，勝者進入第二輪比賽，未被選中的周冠軍直接進入第二輪比賽，第二輪比賽從3位選手中淘汰一位選手，勝者進入第三輪比賽，第三輪比賽的勝者為月冠軍．假設每輪比賽每位選手被淘汰的可能性相等．
（1）求周冠軍A、B和挑戰者甲、乙進入第一輪比賽且至少有一位挑戰者進入第二輪比賽的概率．
（2）求月冠軍是挑戰者的概率．
（3）設進入第三輪比賽的挑戰者的人數ξ，求ξ的數學期望．

Answer 1

【答案】分析：（1）周冠軍A、B和挑戰者甲、乙進入第一輪比賽的概率為，至少有1位挑戰者進入第二輪比賽的概率為，由此能求出周冠軍A、B和挑戰者甲、乙進入第一輪比賽且至少有1位挑戰者進入第二輪比賽的概率．
（2）由恰有1位挑戰者進入第三輪比賽并在第三輪比賽中獲勝的概率為，有2位挑戰者進入第二輪比賽，但只有1位進入第三輪比賽并在第三輪比賽中獲勝的概率為，由此能求出月冠軍是挑戰者的概率．
（3）由題意得ξ=0，1，2，P（ξ=0）=，P（ξ=1）=，P（ξ=2）=，由此能求出ξ的分布列和ξ的數學期望Eξ．
解答：解：（1）周冠軍A、B和挑戰者甲、乙進入第一輪比賽的概率為，
至少有1位挑戰者進入第二輪比賽的概率為，
∴周冠軍A、B和挑戰者甲、乙進入第一輪比賽且至少有1位挑戰者進入第二輪比賽的概率為．
（2）∵恰有1位挑戰者進入第三輪比賽并在第三輪比賽中獲勝的概率為，
有2位挑戰者進入第二輪比賽，但只有1位進入第三輪比賽并在第三輪比賽中獲勝的概率為，
有2位挑戰者進入第二輪比賽并全部進入第三輪比賽的概率為
，
故月冠軍是挑戰者的概率為．
（3）由題意得ξ=0，1，2，
由（2）得P（ξ=0）==，
P（ξ=1）=，
P（ξ=2）=，
∴ξ的分布列如下表：

ξ		1	2
P

∴Eξ的數學期望Eξ=0×+1×+2×=．
點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和數學期望，考查學生的運算能力，考查學生探究研究問題的能力，解題時要認真審題，理解古典概型的特征：試驗結果的有限性和每一個試驗結果出現的等可能性，體現了化歸的重要思想．