Question

中央電視臺星光大道某期節目中，有5位實力均等的選手參加比賽，經過四輪比賽決出周冠軍（每一輪比賽淘汰l位選手）．
（Ⅰ）甲、乙兩位選手都進入第三輪比賽的概率；
（Ⅱ）設甲選手參加比賽的輪數為X，求X的分布列及數學期望．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由于甲、乙兩位選手都進入第二輪比賽，知第一輪和第二輪淘汰的是三位選手中的兩位，由此能求出甲、乙兩位選手都進入第三輪比賽的概率．
（Ⅱ）甲選手參加比賽的輪數X的可能取值為1，2，3，4，分別求出P（X=1），P（X=2），P（X=3），P（X=4），由此能求出X的分布列和EX．

解答：解：（Ⅰ）由于甲、乙兩位選手都進入第二輪比賽，
即第一輪和第二輪淘汰的是三位選手中的兩位，
∴甲、乙兩位選手都進入第三輪比賽的概率p=

C 1 3

C 1 5

•

C 1 2

C 2 4

=

3

10

．
（Ⅱ）甲選手參加比賽的輪數X的可能取值為1，2，3，4，
P（X=1）=

1

C 1 5

=

1

5

，
P（X=2）=

C 1 4

C 1 5

•

1

C 1 4

=

1

5

，
P（X=3）=

C 1 4

C 1 5

•

C 1 3

C 1 4

•

1

C 1 3

=

1

5

，
P（X=4）=

C 1 4

C 1 5

•

C 1 3

C 1 4

•

C 1 2

C 1 3

=

2

5

，
∴X的分布列

X	1	2	3	4
p	1 5	1 5	1 5	2 5

∴甲選手參加比賽的輪數x的數學期望為
EX=1×

1

5

+2×

1

5

+3×

1

5

+4×

2

5

=

14

5

．

點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和數學期望的求法，解題時要認真審題，注意排列組合知識的合理運用．