Question

【題目】（1）已知函數，試判斷函數的單調性，并說明理由；

（2）已知函數.

（i）判斷的奇偶性，并說明理由；

（ii）求證：對于任意的x ,y∈R，且x≠±1 ，y≠±1，xy≠1都有①.

（3）由⑵可知滿足①式的函數是存在的，如．問：滿足①的函數是否存在無窮多個？說明理由．

Answer 1

【答案】（1）在(∞，1)和(-1,+∞)上單調遞增，理由見解析；（2）（i）奇函數，理由見解析； （ii）證明見解析 （3）存在無窮多個，理由見解析.

【解析】

（1）利用函數單調性的定義進行判斷即可；

（2）（i）利用奇偶函數的定義進行判斷即可；

（ii）利用對數的運算法則通過計算可以證明出結論；

（3）通過取特例，結合（2），可以判斷存在存在無窮多個.

（1）對任意的，且，

則，

因為，所以，即，

所以函數在區(qū)間(∞，1)上是單調遞增，同理可得在區(qū)間(-1,+∞)上單調遞增；

（2）（i）的定義域為，

對任意的，有，

且，

所以為奇函數，

又，所以不是偶函數；

（ii）對于任意的x,y∈R，且x≠±1 ，y≠±1，xy≠1，

因為，

所以；

（3）設，則對于任意的x, y∈R，且x≠±1 ，y≠±1，xy≠1，都有

即滿足①，因為 k 有無窮多個，所以這樣的也有無窮多個．