Question

直線l經過拋物線y²=4x的焦點F，與拋物線交于A，B兩點，則弦AB中點的軌跡方程為

y²=2x-2

．

Answer 1

分析：先根據拋物線方程求得焦點坐標，進而設出過焦點弦的直線方程，與拋物線方程聯立消去y，根據韋達定理表示出x₁+x₂，進而根據直線方程求得y₁+y₂，進而求得焦點弦的中點的坐標的表達式，消去參數k，則焦點弦的中點軌跡方程可得．

解答：解：由題知拋物線焦點為（1，0）
當直線的斜率存在時，設為k，則焦點弦方程為y=k（x-1）
代入拋物線方程得所以k²x²-（2k²+4）x+k²=0，由題意知斜率不等于0，
方程是一個一元二次方程，由韋達定理：
x₁+x₂=

2k2+4

k2

所以中點橫坐標：x=

x1+x2

2

=

k2+2

k2

代入直線方程
中點縱坐標：
y=k（x-1）=

2

k

．即中點為（

k2+2

k2

，

2

k

）
消參數k，得其方程為
y²=2x-2
當直線斜率不存在時，直線的中點是（1，0），符合題意，
故答案為：y²=2x-2

點評：本題主要考查了拋物線的簡單性質．涉及弦的中點的時候，常需要把直線方程與拋物線方程聯立，利用韋達定理設而不求．