Question

【題目】已知函數f（x）= 是奇函數，且f（2）=﹣
（1）求函數f（x）的解析式
（2）判斷函數f（x）在（0，1）上的單調性，并加以證明．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵函數f（x）= 是奇函數，3x≠q．

∴f（﹣x）+f（x）= + =0，化為：q（px2+2）=0，對于定義域內的任意實數x都成立，則q=0．

又f（2）=﹣ ，∴ =﹣ ，解得p=2．

∴f（x）= = ，（x≠0）

（2）解：函數f（x）在（0，1）上的單調遞增．

證明：0＜x1＜x2＜1，

則f（x1）﹣f（x2）= + = × ，

∵0＜x1＜x2＜1，∴x2﹣x1＞0，0＜x1x2＜1，

∴ ＜0，

∴f（x1）﹣f（x2）＜0，

∴f（x1）＜f（x2），

∴函數f（x）在（0，1）上的單調遞增

【解析】（1）利用奇函數的性質可得：f（﹣x）+f（x）=0，與f（2）=﹣ 聯立解出p，q即可得出．（2）函數f（x）在R上單調遞增．下面給出證明分析：0＜x1＜x2＜1，只要證明f（x1）﹣f（x2）＜0即可．
【考點精析】認真審題，首先需要了解函數單調性的判斷方法(單調性的判定法：①設x1,x2是所研究區間內任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較)．