Question

若(x+

1

x

-2)n的展開式中常數(shù)項(xiàng)為-20，則自然數(shù)n=

 

．

Answer 1

分析：先湊二項(xiàng)式，再利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求出第r+1項(xiàng)，令x的指數(shù)為0得常數(shù)項(xiàng)列出方程．

解答：解：(x+

1

x

-2)n=(

x

-

1

x

) 2n
(

x

-

1

x

)2n展開式的通項(xiàng)為Tr+1=

C

r 2n

(

x

)2n-r(-

1

x

)r=（-1）^rC_2n^rx^n-r
令n-r=0得n=r
∴展開式中常數(shù)項(xiàng)為（-1）ⁿC_2nⁿ
∵展開式中常數(shù)項(xiàng)為-20
∴（-1）ⁿC_2nⁿ=-20
∴n=3
故答案為3

點(diǎn)評(píng)：本題考查二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式是解決二項(xiàng)展開式特定項(xiàng)問題的工具．