Question

已知f（x）=lgx：
（1）在中學數學中，從特殊到一般，從具體到抽象是常見的一種思維形式，如從f（x）=lgx可抽象出性質：f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂）．
對于下面兩個具體函數，試分別抽象出一個與上面類似的性質：
由h（x）=2^x可抽象出性質為

h（x₁+x₂）=h（x₁）•h（x₂）

，
由φ（x）=3x+1可抽象出性質為

φ（x₁+x₂）=φ（x₁）+φ（x₂）

．
（2）g（x）=f（x²+6x+4）-f（x），求g（x）的最小值．

Answer 1

分析：（1）根據對數函數的性質可得h（x）滿足h（x₁+x₂）=h（x₁）•h（x₂），根據一次函數的性質可得φ（x）滿足φ（x₁+x₂）=φ（x₁）+φ（x₂）
（2）由已知中f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂），求出函數g（x）的解析式，并分析函數的單調性，進而可得函數的最值．

解答：解：（1）h（x）滿足h（x₁+x₂）=h（x₁）•h（x₂）------------------（2分）
φ（x）滿足φ（x₁+x₂）=φ（x₁）+φ（x₂）----------------（4分）
故答案為：h（x₁+x₂）=h（x₁）•h（x₂），φ（x₁+x₂）=φ（x₁）+φ（x₂）（答案不唯一）
（2）g（x）=f（x²+6x+4）-f（x）=lg（x²+6x+4）-lgx
=lg

x2+6x+4

x

=lg(x+

4

x

+6)，x＞0-------------------（5分）
令h(x)=x+

4

x

，x＞0，
任取0＜x₁＜x₂，
h(x1)-h(x2)=(x1+

4

x1

)-(x2+

4

x2

)=

(x1-x2)(x1x2-4)

x1x2

當0＜x₁＜x₂≤2時，h（x₁）-h（x₂）＞0，h（x₁）＞h（x₂），
當2≤x₁＜x₂時，h（x₁）-h（x₂）＜0，h（x₁）＜h（x₂），
h（x）在（0，2]上單調遞減，在[2，+∞）上單調遞增，--------------（8分）
故當x=2時，h_min（x）=4，這時g_min（x）=1．------------------（10分）

點評：本題考查的知識點是抽象函數及其應用，函數單調性的判斷與證明，其中（1）的結論是解答抽象函數時，將“抽象”化為“具體”的常用結論，請注意總結．