Question

已知雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左右焦點是F₁，F₂，設P是雙曲線右支上一點，

F1F2

在

F1P

上的投影的大小恰好為|

F1P

|且它們的夾角為

π

6

，則雙曲線的離心率e為（　　）

• A、

  2 +1

  2

• B、

  3 +1

  2

• C、

  3

  +1
• D、

  2

  +1

Answer 1

分析：先根據

F1F2

在

F1P

上的投影的大小恰好為|

F1P

|判斷兩向量互相垂直得到直角三角形，進而根據直角三角形中內角為

π

6

，結合雙曲線的定義建立等式求得a和c的關系式，最后根據離心率公式求得離心率e．

解答：解：∵

F1F2

在

F1P

上的投影的大小恰好為|

F1P

|
∴PF₁⊥PF₂
且它們的夾角為

π

6

，∴∠PF 1F 2=

π

6

，
∴在直角三角形PF₁F₂中，F₁F₂=2c，
∴PF₂=c，PF₁=

3

c
又根據雙曲線的定義得：PF₁-PF₂=2a，
∴

3

c-c=2a
∴

c

a

=

3

+1
e=

3

+1
故選C．

點評：本題主要考查了雙曲線的簡單性質．考查了學生綜合分析問題和運算的能力．解答關鍵是通過解三角形求得a，c的關系從而求出離心率．