Question

6．已知下列兩個命題：
命題p：實系數一元二次方程x²+mx+2=0有虛根；
命題q：關于x的方程：2x²-4（m-1）x+m²+7=0（m∈R）的兩個虛根的模的和不大于$4\sqrt{2}$，
若p、q均為真命題，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析 根據實系數一元二次方程有虛根的條件：判別式小于0，以及共軛復數的積與模的關系，根據二次不等式的解法，以及p、q均為真命題，求交集即可得到所求范圍．

解答 解：命題p：實系數一元二次方程x²+mx+2=0有虛根，
等價為m²-8＜0，解得-2$\sqrt{2}$＜m＜2$\sqrt{2}$①
命題q：關于x的方程：2x²-4（m-1）x+m²+7=0（m∈R）的兩個虛根的模的和不大于$4\sqrt{2}$，
等價為16（m-1）²-8（m²+7）＜0，解得-1＜m＜5，②
設兩個虛根為x₁，x₂，
則有x₁+x₂=2（m-1），x₁x₂=$\frac{1}{2}$（m²+7），
由x₁，x₂，互為共軛復數，可得|x₁|+|x₂|=2|x₁|=2$\sqrt{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{2（{m}^{2}+7）}$，
即有$\sqrt{2（{m}^{2}+7）}$≤4$\sqrt{2}$，解得-3≤m≤3，③
若p、q均為真命題，
由①②③可得，-1＜m＜2$\sqrt{2}$．
可得實數m的取值范圍為（-1，2$\sqrt{2}$）．

點評 本題考查實系數一元二次方程有虛根的條件，以及復數的模的定義，考查二次不等式的解法，以及命題的真假判斷，考查運算能力，屬于中檔題．