Question

已知曲線C：(5－m)x²＋(m－2)y²＝8(m∈R)．
(1)若曲線C是焦點在x軸上的橢圓，求m的取值范圍；
(2)設m＝4，曲線C與y軸的交點為A，B(點A位于點B的上方)，直線y＝kx＋4與曲線C交于不同的兩點M，N，直線y＝1與直線BM交于點G.求證：A，G，N三點共線．

Answer 1

（1）（2）見解析

學生錯解：解：(1)曲線C是焦點在x軸上的橢圓，當且僅當解得2＜m＜5，所以m的取值范圍是(2，5)．
(2)當m＝4時，曲線C的方程為x²＋2y²＝8，點A，B的坐標分別為(0，2)，(0，－2)．
由得(1＋2k²)x²＋16kx＋24＝0.
設點M，N的坐標分別為(x₁，y₁)，(x₂，y₂)，則y₁＝kx₁＋4，y₂＝kx₂＋4，x₁＋x₂＝，x₁x₂＝.直線BM的方程為y＋2＝x，點G的坐標為.
因為直線AN和直線AG的斜率分別為k_AN＝，k_AG＝－，所以k_AN－k_AG＝
＝＝＝＝0.
即k_AN＝k_AG.故A，G，N三點共線．
審題引導：(1)方程的曲線是焦點在x軸上的橢圓；
(2)證明三點共線的常用方法．
規范解答：解：(1)曲線C是焦點在x軸上的橢圓，當且僅當 (3分)
解得＜m＜5，所以m的取值范圍是.(4分)
(2)當m＝4時，曲線C的方程為x²＋2y²＝8，點A，B的坐標分別為(0，2)，(0，－2)．(5分)
由得(1＋2k²)x²＋16kx＋24＝0.(6分)
因為直線與曲線C交于不同的兩點，所以Δ＝(16k)²－4(1＋2k²)×24＞0，即k²＞.(7分)
設點M，N的坐標分別為(x₁，y₁)，(x₂，y₂)，則y₁＝kx₁＋4，y₂＝kx₂＋4，
x₁＋x₂＝，x₁x₂＝.(8分)
直線BM的方程為y＋2＝x，點G的坐標為.(9分)
因為直線AN和直線AG的斜率分別為k_AN＝，k_AG＝－，(11分)
所以k_AN－k_AG＝＝0.
即k_AN＝k_AG.(13分)故A，G，N三點共線．(14分)
錯因分析：易忽視焦點在x軸上，漏掉這一條件，從而失誤．聯立消元后易忽視Δ＞0這一前提條件．