Question

已知函數(shù)f（x）=|x|（x-4）
（1）畫出函數(shù)y=f（x）的圖象；
（2）根據(jù)函數(shù)圖象指出函數(shù)y=f（x）的零點和單調區(qū)間；
（3）討論關于x的方程|x|（x-1）=k實數(shù)解的個數(shù)．

Answer 1

【答案】分析：本題考查的是分段函數(shù)問題．在解答時，對（1）去絕對值從而獲得函數(shù)f（x）的解析式；根據(jù)自變量的取值范圍不同分別不同段上的函數(shù)圖象即可，注意是兩部分開口不同的二次函數(shù)圖象，（2）由圖象直接讀出函數(shù)的單調區(qū)間函數(shù)的零點即可；對（3）關于x的方程|x|（x-1）=k實數(shù)解的個數(shù)即為函數(shù)f（x）的圖象與直線y=k的交點個數(shù)，根據(jù)圖象即可求得結果．
解答：解：（1）f（x）=|x|（x-4）=
圖象如圖：
（2）函數(shù)f（x）的單調遞增區(qū)間是 （-∞，0]和[4，+∞），f（x）的單調遞減區(qū)間是[0，4]；函數(shù)的零點為0和4．
（3）關于x的方程|x|（x-1）=k實數(shù)解的個數(shù)即為函數(shù)f（x）的圖象與直線y=k的交點個數(shù)，
由函數(shù) 圖象知：當k＞0或k＜-4時，有1個交點，即關于x的方程|x|（x-1）=k有1個實數(shù)解；
當k=0或k=-4時，有2個交點，即關于x的方程|x|（x-1）=k有2個實數(shù)解；
當-4＜k＜0時，有3個交點，即關于x的方程|x|（x-1）=k有3個實數(shù)解．
點評：本題考查的是分段函數(shù)問題．在解答的過程當中充分體現(xiàn)了分類討論的思想、數(shù)形結合的思想、函數(shù)與方程的思想以及問題轉化的思想．值得同學們體會和反思．屬中檔題．