Question

下列命題：
①

∫

10

（1-e^x）dx=1-e；
②命題“?x＞3，x²+2x+1＞0”的否定是“?x≤3，x²+2x+1≤0”；
③已知x∈R，則“x＞2”是“x＞1”的充分不必要條件；
④已知

AB

=(3，4)，

CD

=（-2，-1），則

AB

在

CD

上的投影為-2；
⑤已知函數f(x)=sin(ωx+

π

6

)-2(ω＞0)的導函數的最大值為3，則函數f（x）的圖象關于x=

π

3

對稱，
其中正確的命題是______．

Answer 1

∫

10

（1-e^x）dx=(x-ex

)|

10

=1-（e¹-e⁰）=2-e，∴命題①錯誤；
命題“?x＞3，x²+2x+1＞0”的否定是“?x＞3，x²+2x+1≤0”，∴命題②錯誤；
由x＞2，一定有x＞1，反之，由x＞1，不一定有x＞2，如x=

3

2

．
∴“x＞2”是“x＞1”的充分不必要條件，∴命題③正確；
由

AB

=(3，4)，

CD

=（-2，-1），設

AB

與

CD

的夾角為θ，
則

AB

•

CD

=|

AB

||

CD

|cosθ=3×（-2）+4×（-1）=-10，
∵|

CD

|=

(-2)2+(-1)2

=

5

，∴|

AB

|cosθ=

-10

5

=-2

5

．
∴

AB

在

CD

上的投影為-2

5

．∴命題④錯誤；
由f（x）=sin（ωx+

π

6

）-2，則f^′（x）=ω•cos（ωx+

π

6

），
∵函數f(x)=sin(ωx+

π

6

)-2(ω＞0)的導函數的最大值為3，∴ω=3．
則f（x）=sin（3x+

π

6

）-2，而f(

π

3

)=sin(3×

π

3

+

π

6

)-2=-

5

2

＞-3，∴函數f（x）的圖象不關于x=

π

3

對稱．
∴命題⑤錯誤．
所以正確的命題為③．
故答案為③．