Question

下列命題：
①

∫

1 0

（1-e^x）dx=1-e；
②命題“?x＞3，x²+2x+1＞0”的否定是“?x≤3，x²+2x+1≤0”；
③已知x∈R，則“x＞2”是“x＞1”的充分不必要條件；
④已知

AB

=(3，4)，

CD

=（-2，-1），則

AB

在

CD

上的投影為-2；
⑤已知函數f(x)=sin(ωx+

π

6

)-2(ω＞0)的導函數的最大值為3，則函數f（x）的圖象關于x=

π

3

對稱，
其中正確的命題是

③

．

Answer 1

分析：對于命題①，直接求積分即可判斷真假；命題②是全稱命題的否定，全稱命題的否定是特稱命題，由此可判斷命題②的真假；命題③由x＞2能推出x＞1，但由x＞1不能推出x＞2；命題④考查了向量在向量上的投影，首先求出給出的兩個向量的數量積，再求出向量

CD

的模，則

AB

在

CD

上的投影可求；命題⑤首先對復合函數求導，根據導函數的最大值是3求出ω的值，的導函數解析式后把x=

π

3

代入函數解析式驗證，函數能取最大值則是對稱軸，否則不是．

解答：解：

∫

1 0

（1-e^x）dx=(x-ex

)|

1 0

=1-（e¹-e⁰）=2-e，∴命題①錯誤；
命題“?x＞3，x²+2x+1＞0”的否定是“?x＞3，x²+2x+1≤0”，∴命題②錯誤；
由x＞2，一定有x＞1，反之，由x＞1，不一定有x＞2，如x=

3

2

．
∴“x＞2”是“x＞1”的充分不必要條件，∴命題③正確；
由

AB

=(3，4)，

CD

=（-2，-1），設

AB

與

CD

的夾角為θ，
則

AB

•

CD

=|

AB

||

CD

|cosθ=3×（-2）+4×（-1）=-10，
∵|

CD

|=

(-2)2+(-1)2

=

5

，∴|

AB

|cosθ=

-10

5

=-2

5

．
∴

AB

在

CD

上的投影為-2

5

．∴命題④錯誤；
由f（x）=sin（ωx+

π

6

）-2，則f^′（x）=ω•cos（ωx+

π

6

），
∵函數f(x)=sin(ωx+

π

6

)-2(ω＞0)的導函數的最大值為3，∴ω=3．
則f（x）=sin（3x+

π

6

）-2，而f(

π

3

)=sin(3×

π

3

+

π

6

)-2=-

5

2

＞-3，∴函數f（x）的圖象不關于x=

π

3

對稱．
∴命題⑤錯誤．
所以正確的命題為③．
故答案為③．

點評：本題考查了命題的真假判斷與應用，考查了微積分基本定理，訓練了復合函數的求導法則，正確理解向量在向量上的投影是解答該題的關鍵，此題是中檔題．