Question

已知雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的右焦點為F，過點F作直線PF垂直于該雙曲線的一條漸近線l₁于P(

3

3

，

6

3

)．
（1）求該雙曲線的方程；
（2）過點F作直線l₂交該雙曲線于M，N兩點，如果|MN|=4，求直線l₂的方程．

Answer 1

分析：（1）先由雙曲線方程求出漸近線方程，再聯立接觸交點坐標，與P(

3

3

，

6

3

)為同一點，可求出a，b值，則雙曲線方程可求．
（2）可先設帶參數的直線l₂的方程，再代入雙曲線方程，用弦長公式求出長度，與所給長度4相等，可求出參數的值，直線l₂的方程就能求出．

解答：解：（1）設F（c，0），l1：y=

b

a

x，PF：y=-

a

b

(x-c)
解方程組

y= b a x y=- a b (x-c)

得P(

a2

c

，

ab

c

)
又已知P(

3

3

，

6

3

)．∴a=1，b=

2

∴雙曲線方程為x2-

y2

2

=1
（2）若直線l₂過右焦點為F（

3

，0），可設直線l₂的方程為x=my+

3

代入x2-

y2

2

=1，
得(2m2-1)y2+4

3

my+4=0
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
則y1+y2=-

4 3 m

2m2-1

，y1•y2=

4

2m2-1

∴|y1-y2|=

4 m2+1

|2m2-1|

故|MN|=

m2+1

•|y1-y2|=

4(m2+1)

|2m2-1|

∴

4(m2+1)

|2m2-1|

=4
解得：m=0或m=±

2

∴所求直線l₂的方程為x=

3

和y=±

2

2

(x-

3

)．

點評：本題主要考查直線與雙曲線的位置關系，用到求交點坐標，以及弦長公式，做題時認真分析，找到正確解法．