Question

如圖：PA⊥平面ABCD，ABCD是矩形,PA=AB=1，AD=，點F是PB的中點，點E在邊BC上移動

（Ⅰ）求三棱錐E-PAD的體積;

（Ⅱ）當點E為BC的中點時，試判斷EF與平面PAC的位置關系，并說明理由；

（Ⅲ）證明：無論點E在邊BC的何處，都有PE⊥AF

 

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）平行，（Ⅲ）詳見解析

【解析】

試題分析：（Ⅰ）因為已知PA⊥平面ABCD，所以求三棱錐E-PAD的體積，用等體積法

求體積時先找高線，即先觀察面上的垂線，（Ⅱ）點為的中點，點F是PB的中點，EF為三角形的中位線，根據三角形的中位線可得線線平行，再由直線與平面平行的判定定理得出結論，（Ⅲ）無論點E在邊BC的何處，暗示本題只需考慮直線AF與平面PBC的垂直關系即可 由等腰三角形底邊上中線垂直于底邊，即AF垂直于PB，因此只需考慮AF垂直平面PBC另一條直線 經觀察，直線BC為目標，這是因為BC垂于AB,而PA又垂直BC。到此思路已出，只需逆推即可。

試題解析：【解析】
（Ⅰ）三棱錐E-PAD的體積 4分

（Ⅱ）當點為中點時，與平面平行

在中，分別為的中點，

又平面,而平面，

平面 4分

（Ⅲ）證明：平面平面

,又平面,

平面,又平面,

又，點為的中點，,

又,平面,平面

平面, 4分

考點：三棱錐體積，直線與平面平行的判定，直線與平面垂直的判定與性質